|
| |
  |
Перейти на главную Журналы очень редко и могут дать неправильную картину распределения. Теоретическая связь между предельными значениями стандартных отклонений показана на рис. 8.30, где также приведены и полученные на практике данные. Если число образцов стремится к бесконечности, а размер интервала в то же время стремится к нулю, то гистограмма принимает вид непрерывной кривой, называемой кривой распределения. Для прочностей определенного материала эта кривая примет характерный вид; фактически имеются несколько «типов» кривых, свойства которых были подробно рассчитаны и приведены в стандартных статистических таблицах. Один такой вид распределения - это так называемое нормальное распределение или распределение Гаусса. О применении этого типа распределения к прочности бетона уже упоминалось в этой главе; нормальное распределение прочностей весьма близко к истине и является полезным при вычислениях. -§1» § го 7 2 6
т т т т т т т Прочность в кгс/см7 Количество испытаний образцов (логари(рмическая шкала) Рис. 8.29. Гистограмма значений прочности, приведенных выше Рис. 8.30. Отношение интервала колебаний к стандартному отклонению для образцов разного размера. Кривая - теоретическая на основе нормального распределения Уравнение кривой нормального распределения, зависящее только от величины среднего ju и стандартного отклонения а, имеет следующий вид: «2 У2п Это уравнение графически представлено на рис. 8.31, из которого видно, что кривая симметрична относительно среднего значения и бесконечна к плюсу и минусу. Этот факт иногда упоминают при критике применения нормального распределения прочностей, но вероятность получения очень высоких или очень низких значений прочности чрезвычайно мала и не имеет практического значения. Среднее Площадь под кривой между определенными значениями прочности: (измеряемыми стандартным отклонением) представляет собой, так же как и на гистограмме, количество образцов, лежащих в определенных пределах прочности. Но поскольку кривая относится к бесконечной совокупности образцов, а мы имеем дело с конечным их числом, то площадь под кривой между данными ординатами, выраженная как часть общей площади под всей кривой (называемая пропорциональной площадью), показывает вероятность попадания произвольно выбранного образца X в указанные пределы. При умножении значения этой вероятности на 100 имеем процент ожидания для данного образца попасть в указанные пределы прочности. Статистические таблицы дают значения пропорциональных площадей для различных значений .  Рис. 8.31. Кривая нормального распределения: показан процент образцов в интервалах одного стандартного отклонения СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ Из приведенного выше обсуждения видно, что дисперсия прочностей или отклонение от среднего значения есть фиксированная функция стандартного отклонения. Она называется средним квадратичным отклонением, т.е. где X - величины прочности п образцов, \1-среднее арифметическое этих прочностей, т. е. fi=-. На практике мы имеем дело с ограниченным числом образцов, и их среднее X представляет собой оценку истинного (относящегося ко всей совокупности) среднего значения р.* Мы определяем отклонение от X, а не от л, и поэтому в знаменатель выражения, определяющего величину а, ставим не п, а (п-1). Причиной введения этой поправки. , называемой поправкой Бес- селя, является то, что сумма квадратов отклонении имеет минимальное * Точность оценки истинного среднего \i с помощью X \к зависит от стандартно- го отклонения среднего, называемого стандартной ошибкой а, глеап = -:-. Таким образом, X с вероятностью 0,68 лежит в пределах И--л-306 значение, если она взята вблизи среднего X, следовательно, она меньше, чем была бы при рассмотрении среднего всей [л. Отсюда а определяется как Разумеется, при больших п поправка Бесселя не имеет практического значения. Важным является то, что одно полученное в эксперименте значение (например, результаты испытаний одного куба) не дает величины стандартного отклонения и не показывает достоверности результатов или вероятной ошибки полученных данных. Формула для вычисления о, приведенная выше, довольно сложна, и ее удобно заменить другим выражением: -Х - Уп(Х2)- (SX)2. Таким образом, сумма Х получается без определения разностей {X-X), она определяется быстро с помощью таблиц или счетных машин. Вычисления могут быть упрощены и другими методами, например вычитанием определенного количества из всех значений. Для получения S (стандартного отклонения) применяют поправку Бесселя: Стандартное отклонение вычисляется в тех же единицах, как и исходные величины X, но в некоторых случаях удобно вычислять разброс результатов в процентах. В этом случае берут отношение -3- jqq которое называется коэффициентом вариации и является безразмерной величиной. Графически стандартное отклонение (см. рис. 8.32) выражается расстоянием по горизонтали от средней до точки перегиба кривой нормального распределения. Поскольку кривая симметрична, площадь под кривой между абсциссами \к - о и fi + cr составляет 687о всей площади под кривой. Другими словами, вероятность того, что прочность произвольно взятого куба лежит в пределах fx + or, равна 0,68. Вероятности других отклонений от среднего даны на рис. 8.31. Для данной средней величины прочности стандартное отклонение полностью характеризует распределение, которое принято за нормальное; вариации величины стандартного отклонения определяют распределение прочностей в кгс/см. На рис. 8.33 показаны кривые распределения для величин стандартного отклонения, равных 24,5 39,2 и 63 кгс/см. Величина стандартного отклонения влияет на (среднюю) прочность, которая должна быть получена при проектировании состава смеси для бетона данной минимальной прочности. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 [ 100 ] 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 |
